Mathématiques de base Exemples

$\frac{4 - 9 y^{2}}{3 y^{2} + 4 y - 4} \div \frac{3 y^{2} + 5 y + 3}{y^{2} + y - 3}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{4 - 9 y^{2}}{3 y^{2} + 4 y - 4} \cdot \frac{y^{2} + y - 3}{3 y^{2} + 5 y + 3}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2^{2} - 9 y^{2}}{3 y^{2} + 4 y - 4} \cdot \frac{y^{2} + y - 3}{3 y^{2} + 5 y + 3}$

Étape 2.2

Réécrivez $9 y^{2}$ comme ${(3 y)}^{2}$ .

$\frac{2^{2} - {(3 y)}^{2}}{3 y^{2} + 4 y - 4} \cdot \frac{y^{2} + y - 3}{3 y^{2} + 5 y + 3}$

Étape 2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2$ et $b = 3 y$ .

$\frac{(2 + 3 y) (2 - (3 y))}{3 y^{2} + 4 y - 4} \cdot \frac{y^{2} + y - 3}{3 y^{2} + 5 y + 3}$

Étape 2.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{(2 + 3 y) (2 - 3 y)}{3 y^{2} + 4 y - 4} \cdot \frac{y^{2} + y - 3}{3 y^{2} + 5 y + 3}$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ et dont la somme est $b = 4$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 y$ .

$\frac{(2 + 3 y) (2 - 3 y)}{3 y^{2} + 4 (y) - 4} \cdot \frac{y^{2} + y - 3}{3 y^{2} + 5 y + 3}$

Étape 3.1.2

Réécrivez $4$ comme $- 2$ plus $6$

$\frac{(2 + 3 y) (2 - 3 y)}{3 y^{2} + (- 2 + 6) y - 4} \cdot \frac{y^{2} + y - 3}{3 y^{2} + 5 y + 3}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 + 3 y) (2 - 3 y)}{3 y^{2} - 2 y + 6 y - 4} \cdot \frac{y^{2} + y - 3}{3 y^{2} + 5 y + 3}$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(2 + 3 y) (2 - 3 y)}{(3 y^{2} - 2 y) + 6 y - 4} \cdot \frac{y^{2} + y - 3}{3 y^{2} + 5 y + 3}$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(2 + 3 y) (2 - 3 y)}{y (3 y - 2) + 2 (3 y - 2)} \cdot \frac{y^{2} + y - 3}{3 y^{2} + 5 y + 3}$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 y - 2$ .

$\frac{(2 + 3 y) (2 - 3 y)}{(3 y - 2) (y + 2)} \cdot \frac{y^{2} + y - 3}{3 y^{2} + 5 y + 3}$

Étape 4

Annulez le facteur commun à $2 - 3 y$ et $3 y - 2$ .

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Étape 4.1

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{(2 + 3 y) (- 1 (- 2) - 3 y)}{(3 y - 2) (y + 2)} \cdot \frac{y^{2} + y - 3}{3 y^{2} + 5 y + 3}$

Étape 4.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 y$ .

$\frac{(2 + 3 y) (- 1 (- 2) - (3 y))}{(3 y - 2) (y + 2)} \cdot \frac{y^{2} + y - 3}{3 y^{2} + 5 y + 3}$

Étape 4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 2) - (3 y)$ .

$\frac{(2 + 3 y) (- 1 (- 2 + 3 y))}{(3 y - 2) (y + 2)} \cdot \frac{y^{2} + y - 3}{3 y^{2} + 5 y + 3}$

Étape 4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(2 + 3 y) (- 1 (3 y - 2))}{(3 y - 2) (y + 2)} \cdot \frac{y^{2} + y - 3}{3 y^{2} + 5 y + 3}$

Étape 4.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 + 3 y) (- 1 (3 y - 2))}{(3 y - 2) (y + 2)} \cdot \frac{y^{2} + y - 3}{3 y^{2} + 5 y + 3}$

Étape 4.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{(2 + 3 y) \cdot (- 1)}{y + 2} \cdot \frac{y^{2} + y - 3}{3 y^{2} + 5 y + 3}$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $2 + 3 y$ .

$\frac{- 1 \cdot (2 + 3 y)}{y + 2} \cdot \frac{y^{2} + y - 3}{3 y^{2} + 5 y + 3}$

Étape 5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 + 3 y}{y + 2} \cdot \frac{y^{2} + y - 3}{3 y^{2} + 5 y + 3}$

Étape 6

Multipliez $\frac{y^{2} + y - 3}{3 y^{2} + 5 y + 3}$ par $\frac{2 + 3 y}{y + 2}$ .

$- \frac{(y^{2} + y - 3) (2 + 3 y)}{(3 y^{2} + 5 y + 3) (y + 2)}$